Question

19．如图，已知△ABC的三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，若∠BAC=80°，则∠BOD的度数为100°．

Answer 1

分析 如图在CO的延长线上取一点H．首先证明∠DOB=∠D+∠OBC+∠OCD+∠OCB=∠D+∠OBC+∠ACB，由△OCD≌△OCB，推出∠D=∠OBC=∠ABO，推出∠DOB=∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，延长即可解决问题．

解答 解：如图在CO的延长线上取一点H．

∵∠DOH=∠D+∠DCO，∠BOH=∠OBC+∠OCB，
∴∠DOB=∠D+∠OBC+∠OCD+∠OCB=∠D+∠OBC+∠ACB，
∵O是内心，
∴∠DCO=∠BCO，
在△OCD和△OCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{∠OCD=∠OCB}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠D=∠OBC=∠ABO，
∴∠DOB=∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=100°，
故答案为100°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的内心的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是证明∠DOB=∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC．属于中考常考题型．