Question

9．如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧$\widehat{AD}$上任意一点，求证：$\frac{PA+PC}{PB}$为定值．

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，然后延长PA到E，使AE=PC，连接BE，易证得△ABE≌△CBP，继而可证得△BEP是等腰直角三角形，则可求得答案．

解答 解：延长PA到E，使AE=PC，连接BE，
∵∠BAE+∠BAP=180°，∠BAP+∠PCB=180°，
∴∠BAE=∠PCB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABE和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAE=∠PCB}\\{AE=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴∠ABE=∠CBP，BE=BP，
∴∠ABE+∠ABP=∠ABP+∠CBP=90°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴PA+PC=PE=$\sqrt{2}$PB．
即：$\frac{PA+PC}{PB}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{PA+PC}{PB}$为定值．

点评 此题考查了圆的内接多边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．