Question

19．如图，已知圆O的直径AB与CD互相垂直，E为OB中点，CE的延长线交圆O于G，AG交CD于F，求$\frac{DF}{FC}$的值．

Answer 1

分析 如图，连接AD、DG，过点F作FH⊥AD于点H，设OC=x，则OE=BE=$\frac{1}{2}$x，根据勾股定理求得CE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x、AD=$\sqrt{2}$x，由∠ADO=45°知DH=FH、AH=AD-FH=$\sqrt{2}$x-FH，证Rt△COE∽Rt△AHF得$\frac{FH}{AH}$=$\frac{OE}{CO}$，可得FH=$\frac{\sqrt{2}}{3}$x，继而可知DF=$\sqrt{2}$FH=$\frac{2}{3}$x，由CF=CD-DF=$\frac{4}{3}$x可得答案．

解答 解：如图，连接AD、DG，过点F作FH⊥AD于点H，

设OC=x，则OE=BE=$\frac{1}{2}$x，
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$x，
∵∠ADO=45°，
∴DH=FH，
则AH=AD-FH=$\sqrt{2}$x-FH，
∵∠DAF=∠DCG，∠AHF=∠COE，
∴Rt△COE∽Rt△AHF，
∴$\frac{FH}{AH}$=$\frac{OE}{CO}$，即$\frac{FH}{\sqrt{2}x-FH}$=$\frac{\frac{1}{2}x}{x}$，
解得：FH=$\frac{\sqrt{2}}{3}$x，
∴DF=$\sqrt{2}$FH=$\frac{2}{3}$x，
∵CD=2OC=2x，
∴CF=CD-DF=$\frac{4}{3}$x，
则$\frac{DF}{FC}$=$\frac{\frac{2}{3}x}{\frac{4}{3}x}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质表示出所需线段的长度是解题的关键．