Question

5．如图，已知：A（-2，-3），C（0，-1），B点与A点关于C点中心对称，抛物线y=ax²+bx+c过A、B两点且对称轴为x=-1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AB下方的抛物线上求一点P，使△ABP的面积最大，求出P点的坐标和△ABP面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意求出B坐标，再由对称轴方程，求出a，b，c的值，即可确定出解析式；
（2）过P作PQ⊥x轴，交AB于点Q，设P坐标为（m，$\frac{1}{2}$m²+m-4），表示出Q（m，m-1），进而表示出PQ，三角形ABP面积=三角形APQ面积+三角形BPQ面积，列出二次函数解析式，利用二次函数性质求出面积最大值，以及此时P的坐标即可．

解答 解：（1）∵A、B关于C中心对称，A（-2，-3），C（0，-1），
∴B（2，1），
由抛物线对称轴为x=-1，得到$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{4a-2b+c=-3}\\{4a+2b+c=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
则抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-3；
（2）过P作PQ⊥x轴，交AB于点Q，AF⊥PQ，BE⊥PQ，
设P坐标为（m，$\frac{1}{2}$m²+m-4），则Q（m，m-1），
∴PQ=m-1-$\frac{1}{2}$m²-m+4=-$\frac{1}{2}$m²+3，
∴S_△ABP=S_△APQ+S_△BPQ=$\frac{1}{2}$PQ•AF+$\frac{1}{2}$PQ•BE=$\frac{1}{2}$PQ•（AF+BE）=$\frac{1}{2}$•（-$\frac{1}{2}$m²+3）•（2+2）=-m²+6，
∵a=-1＜0，
∴S_△ABP有最大值，当m=3时，S_△ABP最大值为6，此时P坐标为（3，$\frac{7}{2}$）．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．