Question

13．如图①，△ABC的两条平分线AD、BE相交于点P，若∠C=70°，求∠APB的度数．
如图②，P是△ABC内一点，且PA平分∠CAB，PB平分∠CBA，求证：∠APB=90°+$\frac{1}{2}$∠C．

Answer 1

分析 （1）先根据直角三角形的性质求出∠CAB+∠ABC的度数，再根据角平分线的定义得出∠PAB+∠ABP的度数，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠CAB+∠CBA的值，再利用三角形的内角和定理求出∠APB的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠C=70°，
∴∠CAB+∠ABC=110°，
∵∠A、∠B的平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ABC）=$\frac{1}{2}$×110°=55°，
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠ABP）=180°-55°=125°；

（2）∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBA，
∴∠PAB=∠PAC=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠CPB=∠ABP=$\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA）=$\frac{180°-∠C}{2}$，
∴在△APB中，
∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=180°-$\frac{180°-∠C}{2}$=$\frac{1}{2}$∠ACB+90°．

点评 本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．