Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，分别以直角边AC和斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，过点E，作EF⊥AB，垂足为F，连结DF．求证：AE=DF．

Answer 1

分析 求出∠ABC=60°，根据等边三角形的性质得出等边三角形，∠DAC=∠BAE=∠FAE=60°，AB=AE，AC=AD，根据AAS推出Rt△ABC≌Rt△AEF，根据全等得出EF=AC=AD，求出∠DAB=∠AFE，推出AD∥EF，得到四边形ADFE是平行四边形，进而得到结论．

解答 证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵△ACD、△ABE是等边三角形，
∴∠DAC=∠BAE=∠FAE=60°，AB=AE，AC=AD，
∵EF⊥AB，即∠AFE=90°，
∴△AEF是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠FAE=∠ABC}\\{∠AFE=∠ACB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△AEF（AAS），
∴EF=AC=AD，
∵∠DAB=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°，
∴∠DAB=∠AFE，
∴AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AE=DF．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．