Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值．

Answer 1

分析 根据AA可证△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AN}{AM}$=$\frac{3}{4}$，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC=$\sqrt{7}$x，在Rt△ABC中，根据三角函数可求cosB．

解答 解：∵∠C=90°，MN⊥AB，
∴∠C=∠ANM=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AN}{AM}$=$\frac{3}{4}$，
设AC=3x，AB=4x，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$x，
在Rt△ABC中，cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{7}x}{4x}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

点评 此题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的性质勾股定理，本题关键是表示出BC，AB．