Question

11．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上（异于A、B两点），AD⊥CD．
①若BC=3，AB=5，求AC的长？
②若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD与⊙O相切．

Answer 1

分析 ①首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；
②连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．

解答 解：①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=3，AB=5，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4；
②证明：连接OC，
∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切线．

点评 此题主要考查的是切线的判定方法．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．