Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）直线DE与⊙O相切，见解析；（2）6-π

【解析】

（1）连接OE、OD，根据切线的性质得到∠OAC＝90°，根据三角形中位线定理得到OE∥BC，证明△AOE≌△DOE，根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明；

（2）根据扇形的面积公式计算即可．

解：（1）直线DE与⊙O相切，

理由如下：连接OE、OD，如图，

∵AC是⊙O的切线，

∴AB⊥AC，

∴∠OAC＝90°，

∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，

∴OE∥BC，

∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠3，

∴∠1＝∠2，

在△AOE和△DOE中，

∴△AOE≌△DOE（SAS）

∴∠ODE＝∠OAE＝90°，

∴DE⊥OD，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵DE、AE是⊙O的切线，

∴DE＝AE，

∵点E是AC的中点，

∴AE＝AC＝3，

∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，

∴图中阴影部分的面积＝2××2×3﹣＝6-π．