Question

如图，⊙O为Rt△ABC（∠ACB=90°）的内切圆，∠BOC=105°，AB=4 cm．
（1）∠A的度数；
（2）△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：计算题

分析：（1）根据三角形内切圆的定义得到OC平分∠ACB，OB平分∠ABC，则∠OCB=45°，再根据三角形内角和定理计算出∠OBC=180°-∠OCB-∠BOC=30°，所以∠ABC=2∠OBC=60°，然后利用互余可计算出∠A=30°；
（2）在Rt△ACB中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=

1

2

AB=2，AC=

3

BC=2

3

，然后利用三角形面积公式求解．

解答：解：（1）∵⊙O为Rt△ABC（∠ACB=90°）的内切圆，
∴OC平分∠ACB，OB平分∠ABC，
∴∠OCB=

1

2

×90°=45°，
∴∠OBC=180°-∠OCB-∠BOC=180°-45°-105°=30°，
∴∠ABC=2∠OBC=60°，
∴∠A=90°-∠ABC=30°；
（2）在Rt△ACB中，∵∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
∴AC=

3

BC=2

3

，
∴△ABC的面积=

1

2

•2•2

3

=2

3

（cm²）．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．