题目内容
已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC的三边AB，AC，BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高AM=h，
（1）当点P在高AM上时，如图（1）所示，可得结论：h1+h2+h3 h；（填“＞”“=”“＜”）
（2）当点p在△ABC内部时，如图（2）所示；当点P在△ABC的BC边下方时，如图（3）所示；这两种情况（1）中的结论是否成立？若成立．给予证明；若不成立，请写出h1、h2、h3、h之间新的关系式；
（3）当点P在直线BC上时，此时h3=0，请写出h1、h2、h之间的关系式．
（1）当点P在高AM上时，如图（1）所示，可得结论：h1+h2+h3
（2）当点p在△ABC内部时，如图（2）所示；当点P在△ABC的BC边下方时，如图（3）所示；这两种情况（1）中的结论是否成立？若成立．给予证明；若不成立，请写出h1、h2、h3、h之间新的关系式；
（3）当点P在直线BC上时，此时h3=0，请写出h1、h2、h之间的关系式．
考点：等边三角形的性质,三角形的面积
专题：
分析：（1）根据30°角的直角三角形的性质得出PD=PE=
PA，从而求得PD+PE=PA，即可求得h1+h2+h3 =h；
（2）把点P与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解．
（3）把点P与A点连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解．
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（2）把点P与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解．
（3）把点P与A点连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解．
解答：
解：（1）如图1，∵等边三角形ABC中，AM是三角形的高，
∴AM是∠BAC的平分线，
∴∠BAM=
∠BAC=30°，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD=PE=
PA，
∴PD+PE=PA，
∴PD+PE+PM=PA+PM=AM，
即h1+h2+h3 =h；
（2）当点P在△ABC内部时，如图2，h=h1+h2+h3 成立，理由如下：
连接AP、BP、CP，则 S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP
∴
BC•AM=
AB•PD+
AC•PF+
BC•PE
即
BC•h=
AB•h1+
AC•h2+
BC•h3
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h1+h2+h3．
当点P在△ABC外时，如图3，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2-h3=h．
理由如下：连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC-S△PBC，
即
BC•AM=
AB•PD+
AC•PE-
BC•PF，
∵AB=BC=AC，
∴h1+h2-h3=h，
即h1+h2-h3=h．
（3）当点P在直线BC上时，如图4，此时h3=0，h=h1+h2，理由如下：
连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC
∴
BC•AM=
AB•PD+
AC•PE，
即
BC•h=
AB•h1+
AC•h2
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h1+h2．
解：（1）如图1，∵等边三角形ABC中，AM是三角形的高，∴AM是∠BAC的平分线，
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∴PD=PE=
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∴PD+PE=PA，
∴PD+PE+PM=PA+PM=AM，
即h1+h2+h3 =h；
（2）当点P在△ABC内部时，如图2，h=h1+h2+h3 成立，理由如下：
连接AP、BP、CP，则 S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP
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又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h1+h2+h3．
当点P在△ABC外时，如图3，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2-h3=h．
理由如下：连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC-S△PBC，
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∵AB=BC=AC，
∴h1+h2-h3=h，
即h1+h2-h3=h．
（3）当点P在直线BC上时，如图4，此时h3=0，h=h1+h2，理由如下：
连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC
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又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h1+h2．
点评：此题考查等边三角形的性质，30°角的直角三角形的性质，运用等积法建立关系构思巧妙，也是此题的难点．
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