Question

如图，已知直线y=

1

2

x与双曲线y=

k

x

（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4
（1）求k的值
（2）若双曲线y=

k

x

（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=

k

x

（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若△AOP的面积为6，求直线l的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）由条件可先求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值；
（2）可求得C点的坐标，过C作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，过A作x轴的垂线，垂足为F，可求得S_矩形CDOE+S_梯形CDFA，由反比例函数k的几何意义可求得S_△COE和S_△AOF，可求出S_△AOC；
（3）设直线l的解析式为y=mx，则可设P点坐标为（x，mx），过P作PN⊥y轴，PM⊥x轴，可表示出△PON、矩形PMON、梯形PMDA的面积，可得到关于xm的方程，又P在双曲线上，可求得m的值，可得出直线l的解析式．

解答：解：
（1）由A在直线y=

1

2

x，且点A的横坐标为4，代入可求得A点纵坐标为2，
∴A点坐标为（4，2），
又A点在双曲线上，
∴k=4×2=8；
（2）当点C的纵坐标为8时，代入双曲线可求得其横坐标为1，即C点坐标为（1，8），
如图1，过C作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，过A作x轴的垂线，垂足为F，

则OE=CD=8，OD=1，OF=4，AF=2，可求得DF=3，
∴S_矩形CDOE+S_梯形CDFA=8+15=23，
又k=8，∴S_△COE=S_△AOF=

1

2

×8=4，
∴S_△AOC=S_矩形CDOE+S_梯形CDFA-S_△COE-S_△AOF=23-4-4=15；
（3）设直线l的解析式为y=mx，则可设P点坐标为（x，mx）（其中x＞0），
如图2，过P作PN⊥y轴，PM⊥x轴，垂足分别为N，M，

则PN=OM=x，ON=PM=mx，又AD=2，OD=4，可得MD=4-x，
∴S_矩形PMON=mx²，S_梯形ADMP=

1

2

（2+mx）（4-x），
又P、A在双曲线上，
∴S_△PON=S_△AOD=

1

2

k=4，
且S_矩形PMON+S_梯形ADMP=S_△PON+S_△AOD+S_△AOP，
∴mx²+

1

2

（2+mx）（4-x）=4+4+6，
整理可得mx²+（4m-2）x-20=0①，
又点P在双曲线上，则有mx²=8，代入①整理可得：x²+6x-16=0，
解得x=2或-8（舍去），则m=2，
∴直线l的解析式为y=2x．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键，即利用点的坐标表示出图形的面积是关键，注意方程思想的应用．