Question

11．如图，矩形ABCD的两个顶点A，B在坐标轴上，AD：AB=1：2，且A（-2，0），∠BAO=60°，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象恰好经过该矩形的顶点，则k=-2-$\sqrt{3}$或-6-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，再由A（-2，0），∠BAO=60°可知∠ABO=30°，故可得出AB的长，再由AD：AB=1：2求出AD的长，根据直角三角形的性质求出AE及DE的长可得出D点坐标，同理可得出C点坐标，再分函数的图象过C点与过D点两种情况讨论即可．

解答 解：过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，
∵A（-2，0），∠BAO=60°，
∴OA=2，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，OB=AB•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
∵AD：AB=1：2，
∴AD=2．
∵∠DAE+∠BAO=90°，
∴∠DAE=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=1，AE=AD•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴D（-2-$\sqrt{3}$，1）；
在Rt△BCF中，
∵∠CBF+∠ABO=90°，
∴∠CBF=60°，
∴BF=BC•cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，CF=BC•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴C（-$\sqrt{3}$，1+2$\sqrt{3}$），
∴当反比例函数经过C点时，k=-$\sqrt{3}$×（1+2$\sqrt{3}$）=-6-$\sqrt{3}$；当反比例函数经过D点时，k=-2-$\sqrt{3}$．
故答案为：-2-$\sqrt{3}$或-6-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．