Question

11．如图，抛物线y=ax²+3x交x轴正半轴于点A（6，0），顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD于点F，作直线MF．
（1）求a的值及M的坐标；
（2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
（3）当∠DCB=45°时：
①求直线MF的解析式；
②延长OE交FM于点G，四边形DEGF和四边形OEDC的面积分别记为S₁、S₂，则S₁：S₂的值为$\frac{5}{7}$．（直接写答案）

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入y=ax²+3x中可求出a的值，从而得到抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式即可得到M点的坐标；
（2）易得四边形OCFE为平行四边形，则EF=OC=2，所以F点的横坐标为5，利用抛物线解析式可确定F（5，$\frac{5}{2}$），则BE=$\frac{5}{2}$，然后证明△BCD∽△EFD，利用相似比可求出BD的长；
（3）①先证明△BOE和△BCD为等腰直角三角形，则BE=OE=3，则E（3，3），BD=BC=1，同时可得到直线OE的解析式为y=x，再利用EF∥OC，EF=OC=2得到F（5，3），然后利用待定系数法求直线MF的解析式；
②通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{3}{4}x+\frac{27}{4}}\end{array}\right.$得G点坐标，利用三角形面积公式，利用S₁=S_△GEF+S_△DEF求S₁的值，利用S₂=S_△BOE-S_△BCD求S₂的值，从而可得到$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

解答 解：（1）把A（6，0）代入y=ax²+3x得36a+18=0，解得a=-$\frac{1}{2}$；
抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+3x，
∵y=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$，
∴M点的坐标为（3，$\frac{9}{2}$）；
（2）∵CF∥OE，EF∥OC，
∴四边形OCFE为平行四边形，
∴EF=OC=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=3，B（3，0），
∴F点的横坐标为5，
当x=5时，y=-$\frac{1}{2}$x²+3x=$\frac{5}{2}$，即F（5，$\frac{5}{2}$），
∴BE=$\frac{5}{2}$，
∵EF∥BC，
∴△BCD∽△EFD，
∴$\frac{BD}{ED}$=$\frac{BC}{EF}$=$\frac{1}{2}$，
∴BD=$\frac{1}{3}$BE=$\frac{1}{3}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{6}$，
即当BD为$\frac{5}{6}$时，点F恰好落在该抛物线上；
（3）①∵CD∥OE，
∴∠BOE=∠DCB=45°
∴△BOE为等腰直角三角形，
∴BE=OE=3，则E（3，3），
∴直线OE的解析式为y=x，
同理可得△BCD为等腰直角三角形，
∴BD=BC=1，
∴DE=2，
∵EF∥OC，EF=OC=2，
∴F（5，3），
设直线MF的解析式为y=kx+b，
把M（3，$\frac{9}{2}$），F（5，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=\frac{9}{2}}\\{5k+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{27}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线MF的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{27}{4}$；
②解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{3}{4}x+\frac{27}{4}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{27}{7}}\\{y=\frac{27}{7}}\end{array}\right.$，则G（$\frac{27}{7}$，$\frac{27}{7}$），
∴S₁=S_△GEF+S_△DEF=$\frac{1}{2}$×2×（$\frac{27}{7}$-3）+$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{20}{7}$，
S₂=S_△BOE-S_△BCD=$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×1×1=4，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{20}{7}}{4}$=$\frac{5}{7}$．
故答案为$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住三角形面积公式．