Question

19．如图，过点A₀（2，0）作直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x的垂线，垂足为点A₁，过点A₁作A₁A₂⊥x轴，垂足为点A₂，过点A₂作A₂A₃⊥l，垂足为点A₃，…，这样依次下去，得到一组线段：A₀A₁，A₁A₂，A₂A₃，…，则线段A₂₀₁₆A₂₀₁₇的长为（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁵
• B． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁶
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁷
• D． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁸

Answer 1

分析 根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“OA_n=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿOA=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿ，依此规律即可解决问题．

解答 解：由y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，得
l的倾斜角为30°，
点A₀坐标为（2，0），
∴OA₀=2，
∴OA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₀=$\sqrt{3}$，OA₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₁═$\frac{3}{2}$，OA₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₂═$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，OA₄=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₃═$\frac{9}{8}$，…，
∴OA_n=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿOA=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿ．
∴OA₂₀₁₆=2×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁶，
A₂₀₁₆A₂₁₀₇的长$\frac{1}{2}$×2×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁶=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁶，
故选：B．

点评 本题考查了规律型中点的坐标以及含30度角的直角三角形，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”结合图形找出变化规律OA_n=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿOA=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿ是解题的关键．