Question

19．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，且AD=AE，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE，求证：
（1）△DEF∽△BDE；
（2）DG•DF=DB•EF．

Answer 1

分析 （1）根据AD=AE得出∠ADE=∠AED，故∠BDE=∠CED，再由∠EDF=∠ABE可得出结论；
（2）根据△DEF∽△BDE得出$\frac{DB}{DE}$=$\frac{DE}{EF}$，∠BED=∠DFE，故DE²=DB•EF．再由∠GDE=∠EDF得出△GDE∽△EDF，由相似三角形的对应边成比例可得出结论．

解答 证明：（1）∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴180°-∠ADE=180°-∠AED，即∠BDE=∠CED．
∵∠EDF=∠ABE，
∴△DEF∽△BDE；

（2）∵△DEF∽△BDE，
∴$\frac{DB}{DE}$=$\frac{DE}{EF}$，∠BED=∠DFE，
∴DE²=DB•EF．
∵∠GDE=∠EDF，
∴△GDE∽△EDF，
∴$\frac{DG}{DE}$=$\frac{DE}{DF}$，
∴DE²=DG•DF，
∴DG•DF=DB•EF．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．