Question

16．如图1，在?ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．

（1）若$\frac{AF}{EF}$=3，求$\frac{CD}{CG}$的值．
（2）如图2，在（1）的条件下，若$\frac{AF}{EF}$=a（a≠0），求$\frac{DG}{AB}$的值（用含a的代数式表示）
（3）如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若$\frac{AB}{CD}$=m，$\frac{BC}{BE}$=n（m＞0，n＞0），求$\frac{AF}{EF}$的值．（用含m，n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）如图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H．由△ABF∽△EHF，推出$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=3，推出AB=3EH，由四边形ABCD是平行四边形，EH∥AB，推出EH∥CD，AB=CD
又E为BC中点，推出EH为△BCG的中位线，推出CG=2EH，即可推出$\frac{CD}{CG}$=$\frac{AB}{CG}$=$\frac{3EH}{2EH}$=$\frac{3}{2}$．     
（2）如图2中，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB，推出$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=a，推出AB=a•EH，由AB=CD，推出CD=a•EH，由EH∥AB∥CD，推出△BEH∽△BCG．推出$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=2，推出CG=2EH，推出DG=CD-CG=（a-2）EH，由此即可解决问题．
（3）如图3中，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．由EH∥CD，推出△BCD∽△BEH，推出$\frac{CD}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=n，推出CD=nEH，又$\frac{AB}{CD}$=m，推出AB=mCD=mnEH，由EH∥AB，推出△ABF∽△EHF，即可推出$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AB}{EH}$=mn．

解答 解：（1）如图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H．

则有△ABF∽△EHF，
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=3，
∴AB=3EH．                                      
∵四边形ABCD是平行四边形，EH∥AB，
∴EH∥CD，AB=CD，
又∵E为BC中点，
∴EH为△BCG的中位线，
∴CG=2EH，
∴$\frac{CD}{CG}$=$\frac{AB}{CG}$=$\frac{3EH}{2EH}$=$\frac{3}{2}$．                          

（2）如图2中，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．

∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=a，
∴AB=a•EH，
∵AB=CD，
∴CD=a•EH，
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=2，
∴CG=2EH，
∴DG=CD-CG=（a-2）EH，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{a-2}{a}$．

（3）如图3中，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．

∵EH∥CD，
∴△BCD∽△BEH，
∴$\frac{CD}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=n，
∴CD=nEH，
又$\frac{AB}{CD}$=m，
∴AB=mCD=mnEH，
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AB}{EH}$=mn．

点评 本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．