Question

8．如图，在平面直角坐标系中有矩形OABC，AO=4，点E、F分别是OC和AB的中点，将矩形OABC折叠，使点B落在EF上的点G，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点O，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象过点G，求k的值．

Answer 1

分析 连接OG，过点H作HM⊥x轴于M，交EF于N，则G为OH的中点，N为HM的中点，设BH=a（a＞0），AB=b（b＞0），则OG=GH=a，AG=AB=b，OM=OA-BH=4-a，通过勾股定理可得出4a²=b²+（4-a）²①和b²=16-a²②，解之即可得出a、b的值，进而即可得出点G的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值．

解答 解：如图，连接OG，过点H作HM⊥x轴于M，交EF于N，则G为OH的中点，N为HM的中点．
设BH=a（a＞0），AB=b（b＞0），则OG=GH=a，AG=AB=b，OM=OA-BH=4-a，
在Rt△OMH中，OH=2a，HM=b，OM=4-a，
∴OH²=HM²+OM²，即4a²=b²+（4-a）²①．
在Rt△AOG中，∠AGO=90°，OG=a，AG=b，OA=4，
∴AO²=AG²+OG²，即16=a²+b²，
∴b²=16-a²②．
将②代入①中得：a²+2a-8=0，
解得：a=2或a=-4（舍去），
∴b=$\sqrt{16-{a}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴EG=$\frac{1}{2}$OM=1，EO=$\frac{1}{2}$b=$\sqrt{3}$，
∴点G的坐标为（1，$\sqrt{3}$）．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象过点G，
∴k=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、翻折变换、三角形的中位线以及勾股定理，利用勾股定理结合解方程组找出点G的坐标是解题的关键．