Question

17．如图长方形OABC的位置如图所示，点B的坐标为（8，4），点P从点C出发向点O移动，速度为每秒1个单位；点Q同时从点O出发向点A移动，速度为每秒2个单位，设运动时间为t（0≤t≤4）
（1）填空：点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4）），点P的坐标为（0，4-t）．（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，P、Q两点与原点距离相等？
（3）在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否变化？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点坐标的定义即可解决问题；
（2）由题意OP=OQ，则有：4-t=2t，解方程即可；
（3）四边形OPBQ的面积．通过S_{四边形OPBQ}=S_矩形OABC-S_△PCB-S_△ABQ计算证明即可；

解答 解：（1）由题意可知点A的坐标为 （8，0），点C的坐标为  （0，4），点P的坐标为 （0，4-t）．（用含t的代数式表示），
故答案分别为（8，0），（0，4），（0，4-t）．

（2）依题意可知：OP=4-t，OQ=2t，若OP=OQ，则有：4-t=2t
解之得，t=$\frac{4}{3}$．
∴当t=$\frac{4}{3}$时，点P和点Q到原点的距离相等．

（3）四边形OPBQ的面积不变．理由如下：
∵S_{四边形OPBQ}=S_矩形OABC-S_△PCB-S_△ABQ
=32-$\frac{1}{2}$•8•t-$\frac{1}{2}$•4•（8-2t）
=32-4t-16+4t
=16．
∴四边形OPBQ的面积不变．

点评 本题考查坐标与图形的性质、矩形的性质、一元一次方程的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会用分割法求四边形面积，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．