Question

9．如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，D、E为斜边AB上的点，∠DCE=45°，若AD=2，DE=5，则BE的长是（　　）

• A． 3
• B． $\frac{9}{2}$
• C． $\sqrt{19}$
• D． $\sqrt{21}$

Answer 1

分析 将△CEB绕点C逆时针旋转90°，得到△ACF，连结DF，根据旋转的性质可得CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，然后求出∠DCF=45°，从而得到∠DCE=∠DCF，再利用“边角边”证明△CDE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=DE，再求出△ADF是直角三角形，然后勾股定理得出DE²=AD²+BE²，由此即可解决问题．

解答 如图，将△BCE绕点C逆时针旋转90°，得到△ACF，连结DF．
由旋转的性质得，CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠DCE=∠DCF，
在△CDE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠DCE=∠DCF}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴DF=DE，
∵∠DAF=∠BAC+∠CAF=45°+45°=90°，
∴△ADF是直角三角形，
∴DF²=AD²+AF²，
∴DE²=AD²+BE²，
∵AD=2，DE=5
∴BE=$\sqrt{21}$；

点评 本题考查了作图-旋转变换，作图-翻折变换，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，难度适中．准确作出旋转后的图形是解题的关键．