如图.在直角三角形ABC中.∠ABC=90°.AB=3.BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动.同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动.到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P.Q运动速度均为每秒1个单位长度.当点P到达C时停止运动.点Q也同时停止．连接PQ.设运动时间为t秒．(1)当点Q从B点向A点运动时求S△APQ与t的函数关系式,写出t的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达C时停止运动，点Q也同时停止．连接PQ，设运动时间为t（0＜t≤5）秒．
（1）当点Q从B点向A点运动时（未到达点A）求S_△APQ与t的函数关系式；写出t的取值范围；
（2）在（1）的条件下，四边形BQPC的面积能否为△ABC面积的$\frac{13}{15}$？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由；
（3）伴随点P、Q的运动，设线段PQ的垂直平分线为l，当l经过点B时，求t的值．

分析（1）过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ=3-t，证△AHP∽△ABC，求出PH=$\frac{4}{5}$，根据三角形面积公式求出即可；
（2）四边形BQPC的面积若为△ABC面积的$\frac{13}{15}$，那么△APQ的面积为△ABC面积的$\frac{2}{15}$，代入（1）中的函数解析式进行计算即可得到答案；
（3）（i）当点Q从B向A运动时l经过点B，求出CP=AP=$\frac{1}{2}$AC=2.5，即可求出t；
（ⅱ）当点Q从A向B运动时l经过点B，求出BP=BQ=6-t，AP=t，PC=5-t，过点P作PG⊥CB于点G，证△PGC∽△ABC，求出PG=$\frac{3}{5}$（5-t），CG=$\frac{4}{5}$（5-t），BG=$\frac{4}{5}$，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可

解答解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
如图1，过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ=3-t，
则∠AHP=∠ABC=90°，
∵∠PAH=∠CAB，
∴△AHP∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{PH}{BC}$，
∵AP=t，AC=5，BC=4，
∴PH=$\frac{4}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•（3-t）•$\frac{4}{5}$t，
即S=-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{6}{5}$t，t的取值范围是：0＜t＜3．

（2）在（1）的条件下，四边形BQPC的面积能为△ABC面积的$\frac{13}{15}$．理由如下：
依题意得：-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{6}{5}$t=$\frac{2}{15}$×$\frac{1}{2}$×3×4，即-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{6}{5}$t=$\frac{4}{5}$．
整理，得
（t-1）（t-2）=0，
解得t₁=1，t₂=2．
又0＜t＜3，
∴当t=1或t=2时，四边形BQPC的面积能为△ABC面积的$\frac{13}{15}$；

（3）如图2，
（i）当点Q从B向A运动时l经过点B，
BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，
∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°
∴∠PBC=∠PCB，
∴CP=BP=AP=t
∴CP=AP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×5=2.5，
∴t=2.5；
（ⅱ）如图3，当点Q从A向B运动时l经过点B，
BP=BQ=3-（t-3）=6-t，AP=t，PC=5-t，
过点P作PG⊥CB于点G，
则PG∥AB，
∴△PGC∽△ABC，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{PG}{AB}$=$\frac{GC}{BC}$，
∴PG=$\frac{PC}{AC}$•AB=$\frac{3}{5}$（5-t），CG=$\frac{PC}{AC}$•BC=$\frac{4}{5}$（5-t），
∴BG=4-$\frac{4}{5}$（5-t）=$\frac{4}{5}$t
由勾股定理得BP²=BG²+PG²，即（6-t）²=（$\frac{4}{5}$t）²+[$\frac{3}{5}$（5-t）]²，
解得t=$\frac{45}{14}$．
综上所述，伴随点P、Q的运动，设线段PQ的垂直平分线为l，当l经过点B时，求t的值是2.5或$\frac{45}{14}$．