Question

16．已知x=2+$\sqrt{3}$是方程x²-5sinθ•x+1=0的一个根，且θ为锐角，求（$\frac{3}{4}$tanθ-$\frac{5}{3}$cosθ）²⁰¹⁶的值．

Answer 1

分析 设方程的另一根为a，利用根与系数的关系式列出方程，求出a与sinθ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出tanθ、cosθ的值即可．

解答 解：∵关于x的方程x²-5sinθ•x+1=0的一个根为2+$\sqrt{3}$，且θ为锐角，设另一根为a，
∴2+$\sqrt{3}$+a=5sinθ，a（2+$\sqrt{3}$）=1，
解得：a=2-$\sqrt{3}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{3}{5}$，
则tanα=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{4}{3}$．
∴（$\frac{3}{4}$tanθ-$\frac{5}{3}$cosθ）²⁰¹⁶=（$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{3}$-$\frac{5}{3}$×$\frac{3}{5}$）²⁰¹⁶=0．

点评 此题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．