Question

9．将正方形ABCD放置在如图所示的直角坐标系中，点B的坐标为（8，0），点P在边AB的中点．连结CP，将△BCP沿PC折叠，使点B落在y轴的M点处，且点M的纵坐标为4．若点Q是x轴正半轴上一个运动的点，连结MQ、CQ，则△CMQ周长的最小值为10+2$\sqrt{65}$．

Answer 1

分析 作点M关于x轴的对称点M′，连接CM′与x轴的交点即为点Q，此时△CMQ周长最小，先在RT△OMP中利用勾股定理求出OP，正方形边长，然后在RT△CNM′利用勾股定理求出CM′即可解决问题．

解答 解：作点M关于x轴的对称点M′，连接CM′与x轴的交点即为点Q，此时△CMQ周长最小，
设OP=x，则PB=PM=8-x，
在RT△OPM中，PM²=OM²+OP²，
∴（8-x）²=4²+x²，
∴x=3，
∴PM=PB=5，AB=2PB=BC=10，
设CD与y轴交于点N，
在RT△CNM′中，∠CNM′=90°，CN=8，NM′=14，
∴CM′=$\sqrt{C{N}^{2}+NM{′}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{4}^{2}}$=2$\sqrt{65}$，
∴△CMQ的周长=CM+CQ+MQ=CM+CQ+QM′=CM+CM′=10+2$\sqrt{65}$．

点评 本题考查正方形的性质、轴对称-最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理求出正方形的边长，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．