Question

17．阅读理解
因为（a+$\frac{1}{a}$）²=a²+2a•$\frac{1}{a}$+（$\frac{1}{a}$）²=a²+$\frac{1}{a^2}$+2，①
因为${（a-\frac{1}{a}）^2}={a^2}-2a•\frac{1}{a}+{（\frac{1}{a}）^2}={a^2}+\frac{1}{a^2}$-2②
所以由①得：a²+$\frac{1}{a^2}={（a+\frac{1}{a}）^2}$-2，由②得：a²+$\frac{1}{a^2}={（a-\frac{1}{a}）^2}$+2
所以a⁴+$\frac{1}{a^4}={（{a^2}+\frac{1}{a^2}）^2}$-2
试根据上面公式的变形解答下列问题：
（1）已知a+$\frac{1}{a}$=2，则下列等式成立的是C
①a²+$\frac{1}{a^2}$=2；   ②a⁴+$\frac{1}{a^4}$=2；  ③a-$\frac{1}{a}$=0；    ④${（a-\frac{1}{a}）^2}$=2；
A．①；         B．①②；      C．①②③；     D．①②③④；
（2）已知a+$\frac{1}{a}$=-2，求下列代数式的值：
①a²+$\frac{1}{a^2}$；               ②${（a-\frac{1}{a}）^2}$；                ③a⁴+$\frac{1}{a^4}$．

Answer 1

分析 （1）根据a+$\frac{1}{a}$=2，应用完全平方公式，求出每个算式的值各是多少，判断出等式成立的是哪个即可．
（2）根据a-$\frac{1}{a}$=2，应用完全平方公式，求出每个算式的值各是多少即可．

解答 解：（1）∵a+$\frac{1}{a}$=2，
∴a²+$\frac{1}{a^2}$=${（a+\frac{1}{a}）}^{2}$-2=4-2=2；   
∴a⁴+$\frac{1}{a^4}$=${{（a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}）}^{2}$-2=4-2=2；
∵${（a-\frac{1}{a}）}^{2}$=${（a+\frac{1}{a}）}^{2}$-4=4-4=0，
∴a-$\frac{1}{a}$=0；    
∴${（a-\frac{1}{a}）^2}$=0．
∴等式成立的是：①②③．

（2）①原式=（a+$\frac{1}{a}$）²-2=（-2）²-2=2．
②原式=a²+$\frac{1}{a^2}$-2=2-2=0．
③原式=（a²+$\frac{1}{a^2}$）²-2=2²-2=2．
故选：C．

点评 此题主要考查了分式的混合运算，以及完全平方公式的应用，要熟练掌握．