题目内容
4．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知A点坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），且a，b满足$\sqrt{a+b-16}$+|2a-b-2|=0．D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段AC-CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
②如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．
（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）求得A、B点的坐标，从而求得C的坐标，设直线DP解析式为y=kx+b，将D与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（2）①当P在AC段时，三角形ODP底OD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边OD为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；
②当点B的对应点B′恰好落在AC边上时，关键勾股定理即可求出此时P坐标；
（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．
解答 
解：（1）∵a，b满足$\sqrt{a+b-16}$+|2a-b-2|=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-16=0}\\{2a-b-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴点坐标为（6，0），B点坐标为（0，10），
∴C（6，10），
设此时直线DP解析式为y=kx+b，如图1，
将D（0，2），C（6，10）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{6k+b=10}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
则此时直线DP解析式为y=$\frac{4}{3}$x+2；
（2）①当点P在线段AC上时，OD=2，高为6，S=6；
当点P在线段BC上时，OD=2，高为6+10-t=16-t，S=$\frac{1}{2}$×2×（16-t）=-t+16；
②设P（m，10），则PB=PB′=m，如图2，
∵OB′=OB=10，OA=6，
∴AB′=$\sqrt{O{B′}^{2}-O{A}^{2}}$=8，
∴B′C=10-8=2，
∵PC=6-m，
∴m2=22+（6-m）2，解得m=$\frac{10}{3}$
则此时点P的坐标是（$\frac{10}{3}$，10）；
（3）存在，理由为：
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8，
在Rt△BCP1中，BP1=8，BC=6，
根据勾股定理得：CP1=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AP1=10-2$\sqrt{7}$，即P1（6，10-2$\sqrt{7}$）；
②当BP2=DP2时，此时P2（6，6）；
③当DB=DP3=8时，
在Rt△DEP3中，DE=6，
根据勾股定理得：P3E=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AP3=AE+EP3=2$\sqrt{7}$+2，即P3（6，2$\sqrt{7}$+2），
综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2$\sqrt{7}$+2）或（6，10-2$\sqrt{7}$）．
点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．
如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且∠ADE=22.5°，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于点H，交DC的延长线于点G，则图中所有的等腰三角形是△EBH、△GHC、△EDG（将符合条件的所有三角形全部列举出来）．
如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为（ ）| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{1}{5}$ |
如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．
如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=4$\sqrt{3}$．