Question

17．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的⊙O的切线交OP的延长线于点C．
（1）求证：CP=CB；
（2）若⊙O的半径为3，OC=5，求点O到AB的距离．

Answer 1

分析 （1）要证明RP=RQ，需要证明∠PQR=∠RPQ，连接OQ，则∠OQR=90°；根据OB=OQ，得∠B=∠OQB，再根据等角的余角相等即可证明；
（2）过O作OD⊥AB于D，根据BC是⊙O的切线，得到∠OBC=90°，由勾股定理得到BC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，求得PC=BC=4，OP=1，由勾股定理得到AP=$\sqrt{A{O}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{26}$，求出AD=$\frac{25}{\sqrt{26}}$=$\frac{25\sqrt{26}}{26}$，然后由勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∵OP⊥OA，
∴∠OPA+∠A=90°，
又∵OB=OA，
∴∠A=∠OBA，
∴∠ABC=∠OPA=∠CPB，
∴CP=CB；

（2）解：过O作OD⊥AB于D，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴BC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴PC=BC=4，
∴OP=1，
∵∠AOP=90°，
∴AP=$\sqrt{A{O}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∴AO²=AP•AD，
∴AD=$\frac{25}{\sqrt{26}}$=$\frac{25\sqrt{26}}{26}$，
∴OD=$\sqrt{A{O}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{26}}{26}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．