Question

9．王晓同学要证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”是正确的，她先作出了如图所示的平行四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中，AC=BD，求证：平行四边形ABCD是矩形．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按王晓的想法写出证明过程；
证明：

Answer 1

分析 （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得答案；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACD与∠BCD的关系，根据平行四边形的邻角互补，可得∠ACD的度数，根据矩形的判定，可得答案．

解答 解：（1）在平行四边形ABCD中，AC=BD，求证：平行四边形ABCD是 矩形．
故答案为：AC=BD；  矩形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD=BC，
在△ADC和△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{AD=BC}\\{CD=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BCD，
∴∠ADC=∠BCD．
又∵AD∥CB，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=∠BCD=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定，利用全等三角形的判定与性质得出∠ADC=∠BCD是解题关键．