如图.在矩形OAHC中.OC=4.OA=6.B为CH中点.连接AB．动点M从点O出发沿OA边向点A运动,动点N从点A出发沿AB边向点B运动.两个动点同时出发.速度都是每秒1个单位长度.连接CM.CN.MN.设运动时间为t．解答下列问题:(1)当t为何值时.点A在MN的垂直平分线上?(2)求△CMN的面积S与t之间的函数表达式,(3)当t为何值时.△CMN� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

如图，在矩形OAHC中，OC=4，OA=6，B为CH中点，连接AB．动点M从点O出发沿OA边向点A运动；动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在MN的垂直平分线上？
（2）求△CMN的面积S与t之间的函数表达式；
（3）当t为何值时，△CMN的面积S有最小值？
（4）是否存在某一时刻t，使得△CMN为直角三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

分析（1）当点A在MN的垂直平分线上时，即AM=AN，列出方程即可求出t的值；
（2）过点N作OA的垂线，交OA于点F，交CH于点E，由于AM=6-t，AN=t，所以利用矩形的性质和相似三角形的性质可求出EN=$\frac{4}{5}$（5-t），然后分别求出梯形OABC、△OMC、△NCB和△AMN的面积后，即可求出S与t的关系；
（3）将（2）中的关系式进行配方，利用二次函数的性质即可求出S的最小值
（4）△CMN是直角三角形时，有三种情况，一是∠CMN=90°，二是∠MNC=90°，三是∠MCN=90°，然后进行分类讨论求出t的值．

解答解：（1）当点A在MN的垂直平分线上时，
此时，AM=AN，
∵OM=t，
∴AM=6-t，
∵AN=t
∴6-t=t，
∴t=3，

（2）过点N作OA的垂线，交OA于点F，交CH于点E，如图1，
∵B点是CH的中点，
∴BH=$\frac{1}{2}$CH=3，
∵AH=OC=4，
∴由勾股定理可求：AB=5，
∵AN=t，
∴BN=5-t，
∵NE∥AH，
∴△BEN∽△BHA，
∴$\frac{BN}{AB}=\frac{EN}{AH}$，
∴$\frac{5-t}{5}=\frac{EN}{4}$，
∴EN=$\frac{4}{5}$（5-t），
∴FN=4-EN=$\frac{4}{5}$t，
∵梯形OABC的面积为：$\frac{1}{2}$（BC+OA）•OC=18，
△OMC的面积为：$\frac{1}{2}$OM•OC=2t，
△NCB的面积为：$\frac{1}{2}$BC•EN=$\frac{6}{5}$（5-t），
△AMN的面积为：$\frac{1}{2}$AM•FN=$\frac{2}{5}$t（6-t），
∴S=18-2t-$\frac{6}{5}$（5-t）-$\frac{2}{5}$t（6-t）
=$\frac{2}{5}$t²-$\frac{16}{5}$+12；

（3）由（2）可知，S=$\frac{2}{5}$t²-$\frac{16}{5}$+12=$\frac{2}{5}$（t-4）²+$\frac{28}{5}$，
∵0＜t＜5，
∴当t=4时，S的最大值为$\frac{28}{5}$；

（4）当∠CMN=90°，
由（2）可知：FN=$\frac{4}{5}$t，
由勾股定理可求：AF=$\frac{3}{5}$t，
∴MF=AM-AF=6-t-$\frac{3}{5}$t=6-$\frac{8}{5}$t，
∵∠OCM+∠CMO=90°，
∠CMO+∠FMN=90°，
∴∠OCM=∠FMN，
∵∠O=∠NFM=90°，
∴△COM∽△MFN，
∴$\frac{OC}{MF}=\frac{OM}{FN}$，
∴$\frac{4}{6-\frac{8}{5}t}=\frac{t}{\frac{4}{5}t}$，
∴t=$\frac{7}{4}$，

当∠MNC=90°，
由（2）可知：FN=$\frac{4}{5}$t，
∴EN=$\frac{4}{5}$（5-t），
∵MF=6-$\frac{8}{5}$t，
∴CE=OF=OM+MF=6-$\frac{3}{5}$t，
∵∠MNF+∠CNE=90°，
∠ECN+∠CNE=90°，
∴∠MNF=∠ECN，
∵∠CEN=∠NFM=90°，
∴△CEN∽△NFM，
∴$\frac{CE}{FN}=\frac{EN}{MF}$，
∴$\frac{6-\frac{3}{5}t}{\frac{4}{5}t}=\frac{\frac{4}{5}（5-t）}{6-\frac{8}{5}t}$，
∴t=$\frac{41±\sqrt{241}}{8}$，
∵0＜t＜5，
∴t=$\frac{41-\sqrt{241}}{8}$，

当∠NCM=90°，
由题意知：此情况不存在，
综上所述，△CMN为直角三角形时，t=$\frac{7}{4}$或$\frac{41-\sqrt{241}}{8}$．