Question

15．如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（0，6），以A为顶点的抛物线交x轴于B点，其中 点B在x轴正半轴上，连接AB，以 AB为边作矩形ABCD交y轴于点C（按顺时针方向标记），矩形ABCD随着点B位置的变化而随之相应变化．
（1）若矩形ABCD为正方形，求抛物线的函数关系式；
（2）在点B位置变化的过程中，点D的落点在（1）中的抛物线上吗？如果在，请证明；如果不在，请说明理由；并求出OD的最小值；
（3）若点M（-3，-3）落在矩形ABCD的边AD上，求出D点坐标．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可求得B（6，0），设抛物线的解析式为y=ax²+6，将点B的坐标代入得可求得a的值，从而得到抛物线的坐标；
（2）如图1所示：过点D作DE⊥AC，垂足为E．设点B的坐标为（a，0）a＞0．然后依据待定系数法求得AB的解析式（含a的式子），然后再依据待定系数法求得BC的解析式（含a的式子），于是可求得点C的坐标为（0，-$\frac{{a}^{2}}{6}$），接下来，证明△ADE≌△CBO，可得到点D的坐标，从而可证明点D在抛物线上；
（3）先求得直线AM的解析式，然后由点D在AM上，可设点D的坐标为（a，3a+6），将点D的坐标代入y=-$\frac{1}{6}$x²+6求得a的值，从而可求得点D的坐标．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAB=45°．
又∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°．
∴OA=OB．
∴点B的坐标为（6，0）．
设抛物线的解析式为y=ax²+6．
∵将点B的坐标代入得36a+6=0，解得：a=-$\frac{1}{6}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{6}$x²+6．
（2）如图1所示：过点D作DE⊥AC，垂足为E．

设点B的坐标为（a，0）a＞0．
设直线AB的解析式为y=kx+6．
∵将B（a，0）代入抛物线的解析式得：ak+6=0，解得；k=-$\frac{6}{a}$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{6}{a}$x+6．
∵BC⊥AB，
∴直线BC的一次项系数为$\frac{a}{6}$．
设直线BC的解析式为y=$\frac{a}{6}$x+c．
∵将点B的坐标（a，0）代入得：$\frac{{a}^{2}}{6}$+c=0，解得：c=$-\frac{{a}^{2}}{6}$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{a}{6}x$-$\frac{{a}^{2}}{6}$．
∵当x=0时，y=-$\frac{{a}^{2}}{6}$，
∴点C的坐标为（0，-$\frac{{a}^{2}}{6}$）．
∵ABCD为矩形，
∴AD=BC，AD∥BC．
∴∠DAE=∠BCO．
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=90°．
在△ADE和△CBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠BCO}\\{∠DEA=∠BOC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴DE=OB，OC=AE．
∴点D的坐标为（-a，6-$\frac{{a}^{2}}{6}$）．
∵将x=-a代入y=-$\frac{1}{6}$x²+6得：y=$-\frac{1}{6}$a²+6，
∴点D在抛物线y=-$\frac{1}{6}$x²+6上．
（3）设AM的解析式为y=kx+b．
∵将点A、M的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{-3k+b=-3}\end{array}\right.$，解得：k=3，b=6，
∴直线AM的解析式为y=3x+6．
设点D的坐标为（a，3a+6），将点D的坐标代入y=-$\frac{1}{6}$x²+6得：-$\frac{1}{6}$a²+6=3a+6，
解得：a=-18，a=0（舍去）．
∴点D的坐标为（-18，-48）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，点的坐标与函数解析式的关系，明确相互垂直的两条直线的一次项系数的乘积为-1是解题的关键．