Question

5．如图，已知⊙A的半径为4，EC是圆的直径，点B是⊙A的切线CB上的一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF平行于AB，连接DF，AF．
（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形；
（3）当AB=4$\sqrt{2}$时，四边形ACBF为正方形．

Answer 1

分析 （1）根据EF∥AB，可以得到∠FAB和∠CAB的关系，由AC和AF都是圆的半径，AB是△ABC和△ABF的公共边可以得到△ABC和△ABF关系；
（2）根据四边形ADFE为菱形，通过变形可以得到∠CAB的度数；
（3）根据四边形ACBF为正方形，AC=4，AB是该正方形的对角线，可以求得AB的长．

解答 （1）证明：∵EF∥AB，
∴∠AEF=∠CAB，∠AFE=∠FAB，
又∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠FAB=∠CAB，
在△ABC和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAB=∠CAB}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ABF（SAS）；
（2）连接CF，如右图所示，
若四边形ADFE为菱形，则AE=EF=FD=DA，
又∵CE=2AE，CE是圆A的直径，
∴CE=2EF，∠CFE=90°，
∴∠ECF=30°，
∴∠CEF=60°，
∵EF∥AB，
∴∠AEF=∠CAB，
∴∠CAB=60°，
故答案为：60°；
（3）若四边形ACBF为正方形，则AC=CB=BF=FA，AB是正方形ACBF的对角线，
∵AC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．