Question

15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B，其对称轴是x=-1，点C是y轴上一点，其纵坐标为m，连结AC，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，以AC、AD为边作正方形ACED．
（1）用含m的代数式表示点D的横坐标为m+1．
（2）求该抛物线所对应的函数表达式．
（3）当点E落在抛物线y=ax²+bx+2上时，求此时m的值．
（4）令抛物线与x轴另一交点为点F，连结BF，直接写出正方形ACED的一边与BF平行时的m的值．

Answer 1

分析 （1）作DH⊥x轴于H，如图1，先利用等角的余角相等得到∠ACO=∠DAH，则可根据“AAS”证明△ACO≌△DAH，所以AH=OC=m，易得点D的横坐标为m+1；
（2）利用对称轴方程和二次函数图象上点的坐标特征列方程组$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，解方程组求出a和b即可得到抛物线的解析式；
（3）作EG⊥y轴于G，如图1，通过与（1）方法一样证明△ACO≌△CEG得到GE=OC=m，CG=OA=1，则E点坐标为（m，m+1），然后把E点坐标代入（2）中解析式得到关于m的方程，再解方程即可得到m的值；
（4）先通过解方程-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2=0得F（-3，0），计算当x=0时的函数值得到B（0，2），讨论：当点C在y轴的正半轴上，即m＞0时，如图1，证明△ADH∽△FBO，利用相似比可得到m的值；当点C在y轴的负半轴上，即m＜0时，如图2，证明△AOC∽△FOB，利用相似比可计算出m．

解答 解：（1）作DH⊥x轴于H，如图1，
∵四边形ADEC为正方形，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠DAH=90°，
∴∠ACO=∠DAH，
在△ACO和△DAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠AHD}\\{∠ACO=∠DAH}\\{AC=DA}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△DAH，
∴AH=OC=m，
∴OH=OA+AH=m+1，
∴点D的横坐标为m+1；
故答案为m+1；
（2）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2；
（3）作EG⊥y轴于G，如图1，
与（1）方法一样可证明得△ACO≌△CEG，则GE=OC=m，CG=OA=1，
∴E点坐标为（m，m+1），
把E（m，m+1）代入y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2得-$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m+2=m+1，
整理得2m²+7m-3=0，解得m₁=$\frac{-7+\sqrt{73}}{4}$，m₂=$\frac{-7-\sqrt{73}}{4}$，
即m的值为$\frac{-7+\sqrt{73}}{4}$或$\frac{-7-\sqrt{73}}{4}$；
（4）当y=0时，-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2=0，解得x₁=-3，x₂=1，则F（-3，0），
当x=0时，y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2=2，则B（0，2），
当点C在y轴的正半轴上，即m＞0时，如图1，
∵AD∥BF，
∴∠DAH=∠BFO，
∴△ADH∽△FBO，
∴AH：OF=DH：OB，即m：3=1：2，解得m=$\frac{3}{2}$；
当点C在y轴的负半轴上，即m＜0时，如图2，
∵AC∥BF，
∴∠ACO=∠OBF，
∴△AOC∽△FOB，
∴AO：OF=OC：OB，1，即1：3=-m：2，解得m=-$\frac{2}{3}$，
即m的值为$\frac{3}{2}$或-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和正方形的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；灵活应用全等三角形的知识解决线段相等的问题，利用相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质．