Question

不超过(

5

+

3

)6的最大整数是

 

．

Answer 1

考点：根与系数的关系,二次根式的混合运算

专题：计算题

分析：根据完全平方公式求得(

5

+

3

)6=(8+2

15

)3，然后利用换元法设令8+2

15

=a，8-2

15

=b；经计算知，a，b是方程x²-16x+4=0的两个根，然后根据根与系数是关系解得a³、b³；再利用立方差公式解得a³+b³=16（a²+b²）-4（a+b）=3904，利用b的取值范围来解答问题．

解答：解：(

5

+

3

)6=(8+2

15

)3，
令8+2

15

=a，8-2

15

=b，
得a+b=16，ab=4，a，b是方程x²-16x+4=0的两个根，
故得a²=16a-4，b²=16b-4；
a³=16a²-4a，b³=16b²-4b；
∴a³+b³=16（a²+b²）-4（a+b）=16【16（a+b）一8】-4（a+b）=252（a+b）-128=3904．
∵0＜b＜1，∴0＜b³＜1，
∴a³的最大整数值不超过3903．
故答案是：3903．

点评：本题考查了根与系数的关系、二次根式的混合运算．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．