Question

6．如图，AB是半圆O的直径，点C是$\widehat{AB}$的中点，D是$\widehat{AC}$上一点，且BD-AD=$\sqrt{2}$，则弦CD的长为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 如图，在BD上取一点E，使得∠DCE=90°．首先证明△ACE≌△BCE，△DEC是等腰直角三角形，由此推出BD-AD=$\sqrt{2}$CD，结合条件即可解决问题．

解答 解：如图，在BD上取一点E，使得∠DCE=90°．

∵AB是直径，∠CAD=∠CBE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCA=∠BCE}\\{AC=BC}\\{∠CAD=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∵∠CDE=∠CAB=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
∴BD-AD=BD-BE=DE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$，
∴CD=1，
故选C．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、圆的有关知识、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．