Question

3．如图，正△ABC的三边上有三点D，E，F，且AD=BE=CF，设AB=x，DE=y，△ADF的内切圆的半径为$\sqrt{3}$，则关于x的函数关系式为（　　）

• A． y=x-6
• B． y=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$
• C． y=x-3
• D． y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$

Answer 1

分析 首先证明△DEF是等边三角形，由S_△ADF=S_△BDE=S_△EFC=$\frac{1}{2}$（AD+AF+DF）•$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$（x+y）•$\sqrt{3}$，根据S_△ABC-S_△EDF=3•S_△ADF，可得$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$y²=3•$\frac{1}{2}$•（x+y）•$\sqrt{3}$，化简后即可解决问题．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一个等边三角形，
∵S_△ADF=S_△BDE=S_△EFC=$\frac{1}{2}$（AD+AF+DF）•$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$（x+y）•$\sqrt{3}$，
∵S_△ABC-S_△EDF=3•S_△ADF，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$y²=3•$\frac{1}{2}$•（x+y）•$\sqrt{3}$，
∴（x²-y²）=6（x+y），
∴（x+y）（x-y）=6（x+y），
∵x+y≠0，
∴x-y=6，
∴y=x-6．
故选A．

点评 题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定及三角形面积公式，根据已知得出△ADF≌△BED≌△CFE是解题关键，解题的突破点是记住S_△ABC=$\frac{1}{2}$（a+b+c）•r（r是△ABC内切圆的半径）．