题目内容

17．已知函数y=-x+4的图象与函数$y=\frac{k}{x}$的图象在同一坐标系内．函数y=-x+4的图象如图1与坐标轴交于A、B两点，点M（2，m）是直线AB上一点，点N与点M关于y轴对称，线段MN交y轴于点C．
（1）m=2，S△AOB=8；
（2）如果线段MN被反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，求k的值；
（3）如图2，若反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象经过点N，此时反比例函数上存在两个点E（x1，y1）、F（x2，y2）关于原点对称且到直线MN的距离之比为1：3，若x1＜x2请直接写出这两点的坐标．

分析 （1）利用点在函数图象上的特点求出m，以及平面直角坐标系中三角形的面积的计算方法（利用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的边作为底）．
（2）利用点的对称点的坐标特点求出N点的坐标，线段MN被反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，且交点为D，分两种情况$\frac{ND}{DM}=\frac{1}{3}$或$\frac{ND}{DM}=\frac{3}{1}$计算即可．
（3）利用点到平行于坐标轴的直线的距离的计算方法以及和（2）类似的方法分两种情况处理，取绝对值时，也要分情况计算．

解答 解：（1）∵M（2，m）在直线y=-x+4的图象上，
∴m=-2+4=2，
函数y=-x+4的图象与坐标轴交于A、B两点，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA=4，OB=4，
∴S△AOB=$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$×4×4=8．
故答案为2，8．
（2）∵m=2，
∴M（2，2），
∵点N与点M关于y轴对称，
∴N（-2，2），
∴MN=4，
∵线段MN被反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，且交点为D，
①当$\frac{ND}{DM}=\frac{1}{3}$时，即：$\frac{ND}{MN}=\frac{1}{4}$，
∴ND=1，
∴D（-1，2），
∴k=-1×2=-2，
②当$\frac{ND}{DM}=\frac{3}{1}$时，即：$\frac{MN}{DM}=\frac{4}{1}$，
∴DM=$\frac{1}{4}$MN=$\frac{1}{4}$×4=1，
∴D（1，2），
∴k=1×2=2．
故k的值为-2或2．
（3）反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象经过点N，且N（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∵反比例函数上存在两个点E（x1，y1）、F（x2，y2），
∴x1y1=-4x2，y2=-4，
∵点E（x1，y1）、F（x2，y2）关于原点对称，
∴x2=-x1，y2=-y1，
∵M（2，2），N（-2，2），
∴点E到直线MN的距离为|y1-2|，点F到直线MN的距离为|y1+2|，
∵点E（x1，y1）、F（x2，y2）到直线MN的距离之比为1：3，
∴点E（x1，y1）、F（-x1，-y1）到直线MN的距离之比为1：3，
①当$\frac{{|y}_{1}-2|}{{|y}_{1}+2|}=\frac{1}{3}$时，即：3|y1-2|=|y1+2|
当y1＞2时，3y1-6=y1+2，
∴y1=4，
∴y2=-4，x1=-1，x2=1
当-2＜y1≤2时，-3y1+6=y1+2，
∴y1=1，
∴y2=-1，x1=-4，x2=4
当y1＜-2时，-3y1+6=-y1+2，
∴y1=2（舍），
②当$\frac{{|y}_{1}-2|}{{|y}_{1}+2|}=\frac{3}{1}$时，即：3|y1+2|=|y1-2|，
当y1＞2时，3y1+6=y1-2，
∴y1=-4（舍），
当-2＜y1≤2时，3y1+6=-y1+2，
∴y1=-1，
∴y2=1，x1=4，x2=-4（∵x1＜x2，舍），
当y1＜-2时，-3y1-6=-y1+2，
∴y1=-4，
∴y2=4，x1=1，x2=-1（∵x1＜x2，舍），
∴E（-1，4），F（1，-4）或E（-4，1），F（4，-1）

点评 本题是反比例函数的一道综合题，主要考查了点在函数图象上的特点，如求出m，坐标系中计算三角形面积的方法，利用坐标求两点之间的距离和点到直线的距离，如计算ND，MD，点E，F到直线MN的距离，本题的关键是确定确定两点的距离和点到直线的距离的确定，又用到了分几种情况计算，易丢掉其中一种情况．

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