Question

12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，PC⊥PD．PC=2，
（1）求PD的长；
（2）若OD=$\sqrt{3}$-1，∠OPD=15°，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC=∠PFD=90°，由OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE=PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°，而∠PDO+∠PDF=180°，则∠PCE=∠PDF，然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC=PD；
（2）根据已知条件得到∠PDF=60°，解直角三角形得到PF=$\sqrt{3}$DF，根据正方形的性质列方程即可得到结论．

解答 解：（1）如图，过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴∠PEC=∠PFD=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，
∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，
∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°，
而∠PDO+∠PDF=180°，
∴∠PCE=∠PDF，
在△PCE和△PDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCE=∠PDF}\\{∠PEC=∠PFD}\\{PE=PF}\end{array}\right.$
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PD=PC=2；

（2）∵∠POD=45°，∠OPD=15°，
∴∠PDF=60°，
∴PF=$\sqrt{3}$DF，
∵PD=PC，
∴四边形PEOF是正方形，
∴$\sqrt{3}$DF=OD+DF=$\sqrt{3}$-1+DF，
∴DF=1，
∴PF=$\sqrt{3}$，
∴P点的坐标（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，考查了三角形全等的判定与性质．解决本题的关键是熟记角平分线的性质，全等三角形的性质与判定．