Question

8．2x²-5ax+3b=0的两根之比2：3，x²-2bx+8a=0的两根相等，且ab≠0，求a、b的值．

Answer 1

分析 设2x²-5ax+3b=0的两根分别为2t，3t，根据根与系数的关系得到2t+3t=$\frac{5a}{2}$，2t•3t=$\frac{3b}{2}$，消去t得到b=a²，再利用判别式的意义得到b²-8a=0，然后消去b得到a²-8a=0，解方程得到满足条件的a的值，再计算对应的b的值．

解答 解：设2x²-5ax+3b=0的两根分别为2t，3t，则2t+3t=$\frac{5a}{2}$，2t•3t=$\frac{3b}{2}$，
∴t=$\frac{1}{2}$a，t²=$\frac{1}{4}$b，
∴$\frac{1}{4}$a²=$\frac{1}{4}$b，即b=a²，
∵x²-2bx+8a=0的两根相等，
∴△=（-2b）²-4•8a=4b²-32a=0，即b²-8a=0，
∴a²-8a=0，解得a₁=0，a₂=8，
而ab≠0，
∴a=8，
∴b=8²=64．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了判别式的意义．