题目内容
1．数学思想运用：
（1）如图①所示，△ABC的外角平分线交于G，若∠A=80°，则∠BGC=40°，请你猜测∠BGC和∠A的数量关系：∠BGC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（2）如图②所示，若△ABC的内角平分线交于点I，若∠A=50°，则∠BIC=115°，请你猜测∠BIC和∠A的数量关系：∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（3）已知，如图③，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于D点，请你猜测∠D和∠A的数量关系：∠D=$\frac{1}{2}∠$A．若∠A=70°，求∠D的度数（写出求解过程）．
分析 （1）根据角平分线定义得出∠2=$\frac{1}{2}$∠EBC，∠3=$\frac{1}{2}$∠FCB，根据三角形外角性质得出∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ABC，求出∠2+∠3=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，根据三角形内角和定理得出∠BGC=180°-（∠2+∠3），代入求出即可；
（2）由∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，可求∠IBC+∠ICB的度数，再利用三角形内角和定理求∠BIC；
（3）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出∠D的等式，再与∠A比较即可解答．
解答 解：（1）∠BGC=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
理由是：∵点P是△ABC中两外角∠EBC与∠FCB平分线的交点，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠EBC，∠3=$\frac{1}{2}$∠FCB，
∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠FCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BGC=180°-（∠2+∠3）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=80°，
∴∠BGC=40°；
故答案为：40°，∠BGC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
即：∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=50°，
∴∠BIC=115°，
故答案为：115°，∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（3）∠D=$\frac{1}{2}$∠A；
证明：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于D点，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ACE=2∠DCE，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠D=∠DCE-∠DBE，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∠A=∠ACE-∠ABC=2∠DCE-2∠DBE=2（∠DCE-∠DBE），
∴∠D=$\frac{1}{2}∠$A；
∵∠A=70°，
∴∠D=35°，
故答案为：∠D=$\frac{1}{2}∠$A．
点评 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是能沟通三角形的内角和外角的关系．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，| A． | p=-4，q=-12 | B． | p=4，q=-12 | C． | p=-8，q=-12 | D． | p=8，q=12 |
| A． | 4 | B． | -4 | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $-\frac{1}{4}$ |