Question

已知⊙O直径为2，△ABC为⊙O内接三角形，点I为△ABC内心，求ID长为

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：计算题

分析：连结BD，BI，BD，CD，如图，根据三角形内心的性质得∠2=∠4，∠5=∠6，再根据圆周角定理得∠7=∠4，则∠2=∠7，接着利用三角形外角性质得∠1=∠2+∠5，于是得到∠1=∠7+∠6，即∠1=∠DBI，所以ID=BD，再证明△BDC为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得BD=

2

2

BC=

2

，即有ID=

2

．

解答：解：连结BD，BI，BD，CD，如图，
∵点I为△ABC内心，
∴AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠2=∠4，∠5=∠6，
∵∠7=∠4，
∴∠2=∠7，
∵∠1=∠2+∠5，
∴∠1=∠7+∠6，即∠1=∠DBI，
∴ID=BD，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠2=∠4，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴BD=

2

2

BC=

2

2

×2=

2

，
∴ID=

2

．
故答案为

2

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了圆周角定理．