题目内容

如图，一次函数y=-3x-1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=
k
x
图象的一个交点M（-1，m）
（1）求出反比例函数的解析式和两个函数的另外一个交点坐标．
（2）根据图象直接写出不等式-3x-1＜
k
x
的解集．
（3）在反比例函数y=
k
x
的图象上，是否存在点P，使得S△BOP=3S△AOB？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题
专题：
分析：（1）将点M（-1，m）代入y=-3x-1，求出m的值，得到M点坐标，将M点坐标代入y=
k
x
，运用待定系数法就可求出反比例函数的解析式，然后将这两个函数的解析式联立组成方程组，解这个方程组就可求出交点坐标；
（2）利用图象找出直线y=-3x-1落在双曲线y=
k
x
下方的部分对应的x的取值范围即可；
（3）先求出直线y=-3x-1与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，计算出△AOB的面积，然后假设在反比例函数y=
k
x
的图象上，存在点P（x，-
2
x
），根据S△BOP=3S△AOB列出方程
1
2
×1×|x|=3×
1
6
，解方程求出x的值，进而求解即可．
解答：解：（1）∵一次函数y=-3x-1的图象过点M（-1，m），
∴m=-3×（-1）-1=2，
∴M（-1，2）．
∵反比例函数y=
k
x
图象过点M（-1，2），
∴k=-1×2=-2，
∴反比例函数的解析式为y=-
2
x
；
由
y=-3x-1
y=-
2
x
，解得
x1=-1
y1=2
，
x2=
2
3
y2=-3
，
∴两个函数的另外一个交点坐标为（
2
3
，-3）；

（2）不等式-3x-1＜
k
x
的解集为-1＜x＜0或x＞
2
3
；

（3）∵y=-3x-1，
∴当y=0时，-3x-1=0，解得x=-
1
3
，
当x=0时，y=-1，
∴点A坐标为（-
1
3
，0），点B坐标为（0，-1），
∴S△AOB=
1
2
OA•OB=
1
2
×
1
3
×1=
1
6
．
假设在反比例函数y=
k
x
的图象上，存在点P（x，-
2
x
），使得S△BOP=3S△AOB．
则
1
2
×1×|x|=3×
1
6
，
解得x=±1，
当x=1时，y=-2；当x=-1时，y=2．
故存在点P（1，-2）或（-1，2），使得S△BOP=3S△AOB．
点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题：把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了用待定系数法求函数的解析式及数形结合思想．
练习册系列答案
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．
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2
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4
x
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=
 
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x
2
=
y
3
，那么
x+y
x-y
=
 
．

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