Question

16．已知：在平面直角坐标系中，M（0，1），N（2，2），在x轴上取一点P，使PM+PN的值最小，则点P的坐标为（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，0）
• B． （-$\frac{3}{2}$，0）
• C． （0，$\frac{3}{2}$）
• D． （$\frac{2}{3}$，0）

Answer 1

分析 作出点M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于点P．由轴对称的性质可知MP+NP=M′P+NP，由两点之间线段最短可知：当M′、P、N在一条直线上时，MP+NP由最小值，然后求得直线M′N的解析式，最后令y=0即可求得点P的横坐标．

解答 解：如图所示：作出点M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于点P．

由轴对称的性质可知：MP=M′P，
∴MP+NP=M′P+NP．
由两点之间线段最短可知：当M′、P、N在一条直线上时，MP+NP由最小值．
设直线M′N所在直线的解析式为y=kx+b，
将点M′（0，-1）、N（2，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$
解得：k=$\frac{3}{2}$，b=-1．
∴直线M′N的解析式为y=$\frac{3}{2}x-1$．
将y=0代入得；$\frac{3}{2}x-1=0$，
解得x=$\frac{2}{3}$．
∴点P的坐标为（$\frac{2}{3}$，0）
故选：D．

点评 本题主要考查的是轴对称-路径最短问题、待定系数法求函数的解析式、一次函数与x轴的交点，明确M′、P、N在一条直线上时，MP+NP由最小值是解题的关键．