Question

5．已知抛物线y=x²+ax+a-2．
（1）它与x轴一定有交点吗？说明你的理由．
（2）在有交点的情况下，求出它的交点坐标，并求出两交点间的距离．
（3）当两交点间的距离最短时，求出抛物线的表达式．

Answer 1

分析 （1）让函数值为0，得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就有与x轴有几个交点．
（2）令y=0，则x²-ax+a-2=0，解方程求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出两交点间的距离．
（3）当两交点间的距离最短时，a²-4a+8最小，得出当a=2时，两交点间的距离最小值=2，抛物线的解析式为y=x²+2x．

解答 解：（1）抛物线与x轴一定有交点；理由如下：
令y=0，则x²-ax+a-2=0．
∵△=（-a）²-4（a-2）=（a-2）²+4，
∴无论a取何实数值，△＞0，
∴抛物线y=x²-ax+a-2与x轴的交点个数是2个．
（2）令y=0，则x²-ax+a-2=0．
∵△=（-a）²-4（a-2）=a²-4a+8，
∴x=$\frac{-a±\sqrt{{a}^{2}-4a+8}}{2}$，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4a+8}}{2}$，0），（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4a+8}}{2}$，0）；
两交点间的距离=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4a+8}}{2}$-$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4a+8}}{2}$=$\sqrt{{a}^{2}-4a+8}$；
（3）当两交点间的距离最短时，a²-4a+8最小，
∵a²-4a+8=（a-2）²+4，
∴当a=2时，两交点间的距离最小值=2，抛物线的解析式为y=x²+2x．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、交点坐标的求法以及最小值问题；要熟记抛物线与x轴的交点由根的判别式的正负来判断．