Question

17．如图，在正方形ABCD中，BD是一条对角线，P是边BC上一点，连接AP，平移△ABP，使点B移动到点C，得到△DCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH．请判断出AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明．

Answer 1

分析 连接CH，证明△HBP≌△HQC（SAS），得到PH=CH，∠BHP=∠QHC，再证明△HAB≌△HCB，得到AH=CH，∠AHB=∠CHB，即可得到AH=PH，AH⊥PH．

解答 解：AH=PH，AH⊥PH．
如图，连接CH，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠HBQ=45°，
∵QH⊥BD，
得到：∠HBQ=∠HQB=45°，
∴HB=HQ，
由平移得BP=CQ，
在△HBP和△HQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{HB=HQ}\\{∠HBP=∠HQC}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$
∴△HBP≌△HQC（SAS），
∴PH=CH，∠BHP=∠QHC，
在△HAB和△HCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABH=∠CBH}\\{BH=BH}\end{array}\right.$
∴△HAB≌△HCB，
∴AH=CH，∠AHB=∠CHB，
∴AH=PH，
由∠BHP=∠QHC，∠AHB=∠CHB，
得到：∠AHB+∠BHP=90°即AH⊥PH．
∴AH=PH，AH⊥PH．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△HBP≌△HQC，△HAB≌△HCB．