Question

15．阅读材料，求值：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵．
解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵，将等式两边同时乘以2得：
    2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶
    将下式减去上式得2S-S=2²⁰¹⁶-1
    即S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶-1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+2²+2³+…+2¹⁰
（2）1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n为正整数）

Answer 1

分析 （1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+2+2²+2³+…+2¹⁰的值；
（2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ的值．

解答 解：（1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，
将等式两边同时乘以2，得
2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹¹
将下式减去上式，得
2S-S=2¹¹-1
即S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=2¹¹-1；
（2）设S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ，
将等式两边同时乘以3，得
3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹，
将下式减去上式，得
3S-S=3ⁿ⁺¹-1
即2S=3ⁿ⁺¹-1
得S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ=$\frac{{3}^{n+1}-1}{2}$．

点评 本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．