Question

17．如图，已知在⊙O中，弦AB=CD，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，求证：EF的垂直平分线经过点O．

Answer 1

分析 过点O作OG⊥CF于点G，OH⊥AE于点H，由垂径定理和勾股定理可知OH=OG，OE=OF，然后利用勾股定理证明OE=OF，由等腰三角形的性质可知EF的垂直平分线必过O点．

解答 解：过点O作OG⊥CF于点G，OH⊥AE于点H，连接OF、OE，
∴由垂径定理可知：BH=$\frac{1}{2}$AB，DG=$\frac{1}{2}$CD，
∵AB=CD，
∴BH=DG，
∵OD=OB，
∴由勾股定理可知：OG²=OH²，
∵BE=DF，
∴BE+BH=DF+DG，
∴EH=FG，
∴在Rt△OEH与Rt△OFG中，
由勾股定理可知：OE²=OF²，
∴OE=OF，
∴△OFE是等腰三角形，
∴由等腰三角形的三线合一可知：EF的垂直平分线过O点．

点评 本题考查垂径定理，涉及勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是证明△OEF是等腰三角形，然后利用三线合一说明EF的垂直平分线经过点O，本题属于基础题型．