Question

9．如图，在正方形ABCD中，以AD为边作等边三角形ADE，点E在正方形内部，将AB绕着点A顺时针旋转30°得到线段AF，连结EF．求证：四边形ADEF是菱形．

Answer 1

分析 首先利用等边三角形的性质可得AD=DE=AE，∠DAE=60°，进而可得∠BAE=30°，再根据将AB绕着点A顺时针旋转30°得到线段AF可得AB=AF，∠BAF=30°，然后可证出△AEF是等边三角形，从而可得AF=EF=DE=AD，再根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ADEF是菱形．

解答 证明：如图，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，∠DAE=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠BAE=30°．
∵AB=AF，∠BAF=30°，
∴AF=AE，∠EAF=60°．
∴△AEF是等边三角形．
∴AF=EF=DE=AD．
∴四边形ADEF是菱形；

证法二：
证明：如图，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，∠DAE=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=AF，∠BAF=30°，
∴AF=DE，∠EAF=∠AED=60°．
∴AF∥DE，
∴四边形ADEF是平行四边形．
∴AD=DE．
∴平行四边形ADEF是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定，以及等边三角形的判定与性质，关键是掌握四边相等的四边形是菱形．