Question

17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，现将延长BC到D，使△ABD为等腰三角形，求等腰△ABD的周长．

Answer 1

分析 分三种情况讨论：①如图1，当AB=AD=5时，CD=CB=3，得△ABD的周长为16m；②如图2，当AB=BD=5时得CD=2，在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{{AC}^{2}{+CD}^{2}}$=2，得到△ABD的周长=10+2$\sqrt{5}$；③如图3当AB为底时．则设腰AD=BD=x，则CD=x-3，在Rt△ACD中，由勾股定理得x²=（x-3）²+4²，解得：x=$\frac{25}{6}$，得到△ABD的周长为$\frac{40}{3}$m．

解答 解：在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=5，
①如图1，

当AB=AD=5时，
CD=CB=3，
得△ABD的周长为16m；
②如图2，

当AB=BD=5时，
得CD=2，
在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{{AC}^{2}{+CD}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
∴△ABD的周长=10+2$\sqrt{5}$；
③如图3，

当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-3，
在Rt△ACD中，AD²=CD²+AC²，
即x²=（x-3）²+4²，解得：x=$\frac{25}{6}$，
则△ABD的周长为$\frac{40}{3}$m．

点评 本题考查了勾股定理，解决本题的关键是正确认识到需要讨论，讨论等腰三角形的边应如何分类．