Question

14．四边形ABCD中，AD、BC的延长线交于E，AB、DC的延长线交于F，∠AEB、∠AFD的平分线交于点P，∠A=64°，∠BCD=136°．
（1）求证：∠CBF=∠ADC；
（2）求∠PEB+∠PFC；
（3）求∠EPF．

Answer 1

分析 （1）根据四边形的内角和，可得∠ADC+∠ABC，根据邻补角的定义，可得∠ABC+∠CBF，根据等量代换，可得答案；
（2）根据三角形的内角和定理，可得∠A+∠ADC+∠AFD，∠A+∠AEB+∠ABE，根据等式的性质，可得∠AFD+∠AEB，根据角平分线的性质，可得答案；
（3）根据等式的性质，可得∠EPF+∠PFD=∠AEP+∠EDF，根据三角形外角的性质，可得∠EDF=∠A+∠AFD，根据等式的性质，可得答案．

解答 （1）证明：∵∠A=44°，∠BCD=136°，
∴∠ADC+∠ABC=360°-∠A-∠BCD=180°．
∵∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=∠ADC；
（2）解：∵∠A+∠ADC+∠AFD=180°，∠A+∠AEB+∠ABE=180°，
∴2∠A+∠ADC+∠ABE+∠AFD+∠AEB=360°，
∴∠AFD+∠AEB=360°-2×44°-180°=92°，
∵∠AEB、∠AFD的平分线交于点P，
∴∠PEB+∠PFC=$\frac{1}{2}$（∠AEB+∠AFD）=$\frac{1}{2}$×92°=46°；
（3）∵∠EPF+∠PFD=∠AEP+∠EDF，
而∠EDF=∠A+∠AFD=∠A+2∠PFD，
∴∠EPF+∠PFD=∠AEP+∠A+2∠PFD，
∴∠EPF=∠A+∠AEP+∠PFD=44°+46°=90°．

点评 本题考查了三角形内角和定理，利用了三角形的内角和，三角形外角的性质，利用等式的性质得出∠EPF+∠PFD=∠AEP+∠EDF是解题关键．
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