Question

5．如图，已知EF是矩形ABCD内一条线段，EF∥BC，直线BE、CF交于点P，直线AE、DF交于点Q，求证：PQ⊥EF．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是矩形，得到AD∥BC，AD=BC，于是得到AD∥BC∥EF，推出△AQD∽△EQF，△BPC∽△EPF，根据相似三角形的性质得到$\frac{AQ}{EQ}=\frac{AD}{EF}$，$\frac{BP}{EP}=\frac{BC}{EF}$，根据比例的性质得到$\frac{AE}{EQ}=\frac{BE}{EP}$，证得△AEB∽△QEP，得到对应角相等∠ABE=∠EPQ，于是证得AB∥PQ，即可得到结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵EF∥BC，
∴AD∥BC∥EF，
∴△AQD∽△EQF，△BPC∽△EPF，
∴$\frac{AQ}{EQ}=\frac{AD}{EF}$，$\frac{BP}{EP}=\frac{BC}{EF}$，
∴$\frac{AQ}{EQ}=\frac{BP}{EP}$，
∴$\frac{AQ}{BP}=\frac{EQ}{EP}$，
∵AQ=EQ+AE，BP=EP+BE，
∴$\frac{AQ}{BP}=\frac{EQ}{EP}=\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{AE}{EQ}=\frac{BE}{EP}$，
∵∠AEB=∠QEP，
∴△AEB∽△QEP，
∴∠ABE=∠EPQ，
∴AB∥PQ，
∵EF∥AD，
∴PQ⊥EF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．