Question

3．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，P为射线BC上一动点，PD⊥AB于D，F是PC中点，EF∥AC，交直线AB于点E，探究线段ED、AB的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 过C作CN⊥AB于N，PD和EF交于M，连接CM，求出四边形MDNC是矩形，推出NC=DM，求出NC=$\frac{1}{2}$AB，根据等腰直角三角形性质求出DE=DM，即可得出答案．

解答 解：ED=$\frac{1}{2}$AB，
理由是：
过C作CN⊥AB于N，PD和EF交于M，连接CM，
∵AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵AC∥EF，
∴∠FEB=∠CAB=45°，∠EFB=∠ACB=90°，
∵PD⊥AB，PF=FC，
∴∠MDE=∠PDB=90°，MP=CM，
∴∠EMD=45°，∠DPB=45°，
∴DE=DM，∠MPC=∠MCP=45°，
∴∠PMC=∠DMC=90°，
∵∠FND=90°，
∴四边形MDNC是矩形，
∴CN=AN=BN，
∵∠ACB=90°，CN⊥AB，
∴AN=BN，
∴CN=$\frac{1}{2}$AB，
∴ED=$\frac{1}{2}$AB．

点评 本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．